ДИАГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

- оператор D, определенный на линейной оболочке базиса в нормированном (или только локально выпуклом) пространстве Xравенствами - комплексные числа. Если D- непрерывный оператор, то

если X- банахово пространство, то это условие в том и только в том случае равносильно непрерывности D, когда - безусловный базис в X. Если - ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н, то D- нормальный оператор, причем а спектр Dсовпадает с замыканием множества {l_k: k=1, 2, ...}. Нормальный и вполне непрерывный оператор Nявляется Д. о. в базисе своих собственных векторов; сужение (даже нормального) Д. о. на его инвариантное подпространство не обязательно, вообще говоря, будет Д. о.; любой нормальный оператор Nв сепарабельном пространстве Нпри любом e>0 может быть представлен в виде N=D+C, где D- Д. о., С- вполне непрерывный оператор и ||С||

Д. о. в широком смысле слова - это оператор Dумножения на комплексную функцию l в прямом интеграле гильбертовых пространств

т. е.

См. Диагонально клеточный оператор.

Лит.:[1] Singer I., Bases in Banach spaces, v. I, B., 1970; [2] Wermer J., "Proc. Amer. Math. Soc", 1952, v. 3, № 2, p. 270-77; [3] Bergl. D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1971, v. 160, p. 365 - 71.

Я. К. Никольский, Б. С. Павлов.